Consejos útiles

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras conecta los tres lados de un triángulo rectángulo con una fórmula, que todavía se usa hoy en día. El teorema dice que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las patas es igual al cuadrado de la hipotenusa: a 2 + b 2 = c 2 , donde ayb son las patas del triángulo (lados que se cruzan en ángulo recto), c es la hipotenusa del triángulo. El teorema de Pitágoras es aplicable en muchos casos, por ejemplo, usando este teorema es fácil encontrar la distancia entre dos puntos en el plano de coordenadas.

Presentación de la lección

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Objetivo de la Lección: El estudio del teorema de Pitágoras y su aplicación.

Tareas

  • Introducir a los estudiantes a la vida de Pitágoras, su escuela.
  • Demuestre el teorema y muestre varios métodos de prueba.
  • Mostrar la aplicación del teorema en la vida.
    (proyectos flash de estudiantes).
  • Desarrollar el pensamiento lógico, la independencia y la imaginación de los alumnos.
  • Mantener interés en el tema.

Equipos y materiales: proyector multimedia, PC, libro de texto, folleto, presentación para la lección y proyectos flash de estudiantes.
La peculiaridad de la lección es que se basa en proyectos flash de estudiantes que usan PC.

“Sí, el camino del conocimiento no es suave.
Pero sabemos de los años escolares,
Hay más acertijos que pistas
¡Y no hay límite para la búsqueda! ”

1. Pitágoras de Samos y la historia de la demostración del teorema. (5 min.) (Diapositivas 5-9)

El famoso filósofo y matemático griego Pitágoras de Samos, cuyo nombre se llama teorema, vivió hace unos 2.500 años. La información biográfica sobre Pitágoras que nos ha llegado es fragmentaria y está lejos de ser confiable. Muchas leyendas están asociadas con su nombre.
Se sabe de manera confiable que Pitágoras viajó mucho en los países del Este, visitó Egipto, India y Babilonia, estudió la cultura antigua y los logros de la ciencia en diferentes países. Al regresar a su tierra natal, Pitágoras organizó un círculo de jóvenes de representantes de la aristocracia, donde fueron aceptados con grandes ceremonias después de largas pruebas.
Como resultado de la primera conferencia dada, Pitágoras adquirió 2.000 estudiantes que no regresaron a sus hogares, y junto con sus esposas e hijos formaron una gran escuela. El teorema de Pitágoras y la escuela de Pitágoras admiran a la humanidad a lo largo de la historia, están dedicados a poemas, canciones, dibujos, pinturas. Entonces el artista F.A. Bronnikov (1827-1902) pintó la pintura "Himno pitagórico al sol naciente"
Se emitió un sello postal en Grecia con motivo del cambio de nombre de la isla de Samos a la isla de Pythagoreion.
En el sello está la inscripción: "Teorema de Pitágoras. Ellas 350 drams ".
Esta hermosa marca es casi la única entre muchos miles de existentes, lo que representa un hecho matemático Pitágoras - Este no es un nombre, sino un apodo que recibió el filósofo por hablar siempre de manera correcta y convincente, como el oráculo griego. (Pitágoras - "convincente con un discurso")
Hay una leyenda que dice que, después de probar su famoso teorema, Pitágoras sacrificó un toro a los dioses y, según otras fuentes, incluso 100 toros.

2. Diversas formulaciones del teorema de Pitágoras traducidas del griego, latín y alemán (3 min.) (Diapositivas 10-16)

En Euclides, este teorema establece (traducción literal):
"En un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado estirado sobre un ángulo recto es igual a los cuadrados en los lados que encierran un ángulo recto".

La traducción al latín del texto árabe de Annairitzi (alrededor del 900 a. C.), realizada por Gerhard de Cremona (principios del siglo XII), traducida al ruso dice:
"En cualquier triángulo rectángulo, un cuadrado formado en un lado estirado sobre un ángulo recto es igual a la suma de dos cuadrados formados en dos lados que encierran un ángulo recto".
En Geometria Culmonensis (circa 1400), el teorema dice lo siguiente:
Además, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, así también ast as is bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. Traducido, esto significa:
"Entonces, el área del cuadrado, medida a lo largo del lado largo, es tan grande como los dos cuadrados, que se miden en dos lados, adyacentes al ángulo recto".
La formulación moderna del teorema de Pitágoras "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las patas".

3. Prueba del teorema de Pitágoras (5 min.) (Diapositivas 17-20)

Prueba:

1. (a + b) 2 = 4S+ c 2
2. 4S= 4 · 1/2 ab = 2 ab
3. pero 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2
4. pero 2 + b 2 = c 2

Los estudiantes de la Edad Media consideraron la prueba del teorema de Pitágoras muy difícil y lo llamaron Dons asinorum: puente de burroo elefuga el vuelo de los "miserables" ya que algunos estudiantes "miserables" que no tenían una formación matemática seria huyeron de la geometría. Los estudiantes débiles que memorizaron teoremas de memoria, sin comprender, y se les llama "burros" por esto, no pudieron superar el teorema de Pitágoras, que les sirvió de puente irresistible.

4. Ejemplos de varios métodos para probar el teorema. (5 min.) (Diapositivas 21-29)

Desde la antigüedad, los matemáticos han encontrado más y más pruebas del teorema de Pitágoras, más y más ideas nuevas para sus pruebas. Dicha evidencia, más o menos estricta, más o menos obvia, se conoce por más de un medio y medio (según otras fuentes, más de quinientos), pero el deseo de aumentar su número se ha mantenido. Por lo tanto, el teorema de Pitágoras figura en el Libro Guinness de los Récords.

  • La evidencia china antigua.
  • Prueba de Euclides.
  • Prueba de Waldheim
  • Prueba de Hawkins.
  • La prueba de Gutheil.
  • Prueba de Perigal.
  • Prueba basada en la teoría de similitud.
  • Agujeros de Hipócrates.
  • Pruebas chinas, 1670
  • Prueba de las obras de Bhaskara.
  • La prueba es un modelo (video).

5. Ejemplos de la aplicación del teorema de Pitágoras en la práctica. (18 min.) (Diapositivas 30-31)

Pitágoras es notable porque es simple, pero no obvio. Esta combinación de dos principios en conflicto y le da una fuerza de atracción especial, lo hace hermoso. Pero, además, el teorema de Pitágoras es de gran importancia práctica: se aplica en geometría en cada paso. El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más importantes de la geometría. La mayoría de los teoremas se pueden deducir de o con su ayuda. El teorema mismo

  • en planimetría
  • en estereometría
  • en arquitectura
  • en construccion
  • en física
  • en astronomía
  • en literatura

En planimetría:

1. Cuadrado con lado pero y diagonal d.

Considere la aplicación del teorema de Pitágoras para encontrar la diagonal de un cuadrado con lado pero.
Según el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las patas, luego d 2 = un 2 + un 2 de: d 2 = 2un 2 d = pero 2

2. La diagonal d del rectángulo con lados ayb se calcula de manera similar a cómo se calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo con patas un y b.
Por el teorema de Pitágoras: d 2 = un 2 + b 2

Considere un ejemplo de cálculo de la diagonal de un rectángulo con lados de 5 cm y 12 cm.

3. Altura h triángulo equilátero con lado pero puede considerarse como una pata de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa peroy otro cathet un/ 2. Así, según el teorema de Pitágoras

pero 2 = h 2 + (1/2un) 2
h 2 = un 2 – (1/2un) 2 h = 1/2un3

Considere un ejemplo de cálculo de la longitud de la altura en un triángulo equilátero con un lado de 4 cm.

En estereometría:

Cálculo de la longitud diagonal de un paralelepípedo rectangular

En arquitectura:

En los edificios de estilo gótico y románico, las partes superiores de las ventanas están divididas por costillas de piedra, que no solo desempeñan el papel de adorno, sino que también contribuyen a la fortaleza de las ventanas. La figura muestra un ejemplo simple de dicha ventana en estilo gótico.
La forma de construirlo es muy simple: a partir de la figura, es fácil encontrar los centros de seis arcos de círculos cuyos radios son iguales al ancho de la ventana (b) para arcos externos y medio ancho (b/ 2), para arcos internos. Queda un círculo completo tocando los cuatro arcos. Como está encerrado entre dos círculos concéntricos, su diámetro es igual a la distancia entre estos círculos, es decir. b/ 2 y por lo tanto el radio es b/ 4. Y entonces la posición de su centro se vuelve clara. En el ejemplo considerado, los radios fueron sin ninguna dificultad. En otros ejemplos similares, pueden ser necesarios cálculos; mostramos cómo se usa el teorema de Pitágoras en tales problemas.
En la arquitectura románica, a menudo se encuentra el motivo presentado en la figura. Si b todavía denota el ancho de la ventana, entonces los radios de los semicírculos serán iguales a R = b/ 2 y r = b/ 4. Radio p El círculo interno se puede calcular a partir del triángulo rectángulo que se muestra en la fig. línea punteada La hipotenusa de este triángulo que pasa por el punto tangente de los círculos es b/4 + p, una pierna es igual b/ 4 y el otro b/2 – p.
Según el teorema de Pitágoras, tenemos: (b/4 + p) 2 = (b/4) 2 + (b/2 – p) 2
Una vez resuelta esta ecuación, es fácil encontrar el radio del círculo interior. p = b/6

En construcción:

Quizás alguien considere que la aplicación del teorema de Pitágoras es puramente teórica. Pero esto no es así. Si, por ejemplo, consideramos un prisma triangular como el techo de una torre, en nuestra primera pregunta estamos hablando de cuánto tiempo es necesario hacer costillas laterales para que la altura prescrita del techo se mantenga en un área determinada del ático. Tenga en cuenta que el cálculo del área del techo puede simplificarse enormemente si usa una regla muy simple, válida en todos los casos cuando todas las pendientes del techo, sin importar cuántas haya, tienen la misma pendiente. Se lee:
Para encontrar el área de la superficie de un techo a dos aguas, cuyas pendientes tienen una pendiente igual, debe multiplicar el área del ático Sh a lo largo de las vigas y dividir por la mitad del ancho de la casa.
Por ejemplo, durante la construcción de cualquier estructura, se calculan distancias, centros de gravedad, colocación de soportes, vigas, etc. En general, la importancia del teorema, aparte de lo anterior, es que se usa en casi todas las tecnologías modernas, y también abre un margen para crear e inventar nuevas.

En física:

Pararrayos, pararrayos, un dispositivo para la protección de edificios, industrial, transporte, servicios públicos, agrícola. y otras estructuras de los rayos.
Se sabe que un pararrayos protege a todos los objetos de los rayos cuya distancia desde su base no excede su doble altura. Es necesario determinar la posición óptima del pararrayos en un techo a dos aguas, asegurando su altura más baja disponible.

  • Por el teorema de Pitágoras h 2 >un 2 + b 2 ,
  • malvado h>un 2 + b 2

En astronomía:

A finales del siglo XIX, se hicieron varias suposiciones sobre la existencia de los habitantes de Marte como los humanos. Este fue el resultado de los descubrimientos del astrónomo italiano Schiaparelli (descubrió canales en Marte que durante mucho tiempo se habían considerado artificiales) y otros. Naturalmente, la cuestión de si las señales de luz podrían explicarse a estas criaturas hipotéticas causó una discusión animada. La Academia de Ciencias de París incluso estableció un premio de 100,000 francos para el primero en establecer contacto con algún habitante de otro cuerpo celeste, este premio aún está esperando a uno afortunado. Como broma, aunque no del todo infundada, se decidió transmitir a los habitantes de Marte la señal de Luz en forma del teorema de Pitágoras.
No se sabe cómo hacer esto, pero es obvio para todos que el hecho matemático expresado por el teorema de Pitágoras tiene lugar en todas partes y, por lo tanto, los habitantes de otro mundo como nosotros deberían entender esa señal.

En la literatura:

Muchos, con el nombre de Pitágoras, recuerdan su teorema, pero pocas personas saben que estaba relacionado no solo con las matemáticas, sino también con la literatura.
El gran matemático también fue un gran filósofo de su tiempo.
Estas son algunas de sus declaraciones:

  • Al hacerlo bien, no prometas mucho.
  • No importa cuán cortas sean las palabras "sí" y "no", aún requieren la reflexión más seria.
  • No hagas nada vergonzoso ni en presencia de otros ni en secreto.
  • Tu primera ley debe ser la autoestima
  • No cierre los ojos cuando quiera dormir sin comprender todas sus acciones durante el último día.
  • No te vayas por el camino de tierra.

El teorema de Pitágoras ha sido ampliamente utilizado en varios campos de la ciencia, la tecnología y la vida práctica.
El arquitecto e ingeniero romano Vitruvio, escritor moral griego o Plutarco, un científico griego del siglo III, escribió sobre ella en sus obras. Diógenes Laercio, matemático del siglo V Proclus y muchos otros.
La leyenda que, en honor a su descubrimiento, Pitágoras sacrificó un toro o, como dicen otros, cien toros, sirvió como motivo de humor en las historias de escritores y en poemas de poetas. Así, por ejemplo, el novelista alemán A. Chamisso, quien a principios del siglo XIX. participó en un viaje alrededor del mundo en el barco ruso "Rurik", escribió los siguientes versos:

La verdad sea eterna, cuán pronto
¡Una persona débil la conoce!
Y ahora el teorema de Pitágoras
Es cierto, como en su lejana edad.
El sacrificio fue abundante.
A los dioses de Pitágoras. Cien toros
Regala por un hechizo y quema
Detrás de la luz, un rayo procedente de las nubes.
Por lo tanto siempre desde
Nace una pequeña verdad
Los toros rugen, sintiéndola, después.
No pueden interferir con la luz.
Y solo pueden, cerrando los ojos, temblar
Por miedo a que Pitágoras les inculcara.

6. La leyenda de la muerte de Pitágoras.

El sueño somnoliento de la noche en que Metapont fue interrumpido por un terrible grito. Hubo un cuerpo pesado que cayó al suelo, el ruido de las piernas corriendo, y todo quedó en silencio. Cuando el guardia nocturno llegó a la escena, a la luz parpadeante de las antorchas, todos vieron a un anciano extendido en el suelo, y no muy lejos de él había un niño de 12 años con el rostro retorcido de horror.
- Quien es? - le preguntó el jefe de guardia al niño
"Este es Pitágoras", respondió.
- ¿Quién es Pitágoras? Entre los habitantes de la ciudad no hay ciudadanos con ese nombre.
- Recientemente llegamos de Croton. Mi maestro tuvo que esconderse de los enemigos y se fue solo de noche. Lo rastrearon y lo mataron.
- ¿Cuántos estaban allí?
- No tuve tiempo de notar esto en la oscuridad. Me arrojaron a un lado y se abalanzaron sobre él. El guardia de la guardia se arrodilló y puso sus manos sobre el pecho del anciano.
"El final", dijo el jefe.
“Solo a la mente, como sabio guardián, se le debe confiar su vida”

7. Resumiendo la lección. Prueba (3 min)

Los estudiantes responden preguntas:

  • Ahora descubrí que ...
  • Ahora puedo ...
  • No entendí cómo ...
  • No sabía que ...
  • Ahora lo se

Prueba: (diapositivas 32-34)

- ¿A qué triángulos se puede aplicar el teorema de Pitágoras?

Elija la formulación correcta del teorema de Pitágoras:

  1. En un triángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las patas.
  2. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de las patas.
  3. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las patas.
  4. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las patas.

- ¿Es cierto que en un triángulo rectángulo cualquiera de las patas es más pequeña que la hipotenusa?

8. Tarea (1 min.) (Diapositivas 35-37)

  1. Aprende el enunciado del teorema
  2. Para poder probar el teorema de Pitágoras
  3. Aprende un poema

Folleto

Si nos dan un triángulo
Y además, con un ángulo recto,
Ese es el cuadrado de la hipotenusa.
Siempre encontraremos fácilmente:
Cuadramos las piernas,
La suma de los grados que encontramos:
Y de una manera tan simple
Llegaremos al resultado.

Contenido

Según el historiador de las matemáticas Moritz Kantor, en el antiguo Egipto durante la época del rey Amenemhat I (alrededor del siglo XXIII a. C.), se conocía acerca de un triángulo rectangular con lados 3, 4, 5 - fue utilizado por los arpedonapts - "tensores de cuerda". En el antiguo texto babilónico que se remonta a la época de Hammurabi (siglo XX aC), se da un cálculo aproximado de la hipotenusa. Según van der Waerden, es muy probable que la relación general se conociera en Babilonia ya alrededor del siglo XVIII a. C. e.

En el antiguo libro chino "Zhou bi xuan jing", atribuido al período de los siglos V - III a. C. e., hay un triángulo con los lados 3, 4 y 5, además, la imagen puede interpretarse como una justificación gráfica de la relación del teorema. En la colección china de problemas "Matemáticas en nueve libros" (siglos X - II aC), se dedica un libro separado a la aplicación del teorema.

En general se acepta que la prueba de la correlación fue dada por el antiguo filósofo griego Pitágoras (570-490 a. C.). Hay evidencia de Proclus (412-485 DC) que Pitágoras usó métodos algebraicos para encontrar los triples pitagóricos [⇨], pero no hubo referencias directas a la prueba de su autoría durante cinco siglos después de la muerte de Pitágoras. Sin embargo, cuando autores como Plutarco y Cicerón escriben sobre el teorema de Pitágoras, del contenido se desprende que la autoría de Pitágoras es bien conocida y cierta. Hay una leyenda reportada por Diógenes de Laertes, según la cual Pitágoras presuntamente celebró el descubrimiento de su teorema con una fiesta gigante, habiendo cantado cien toros de alegría.

Alrededor de 400 aC e., según Proclus, Platón dio un método para encontrar los triples pitagóricos combinando álgebra y geometría. Alrededor de 300 aC e. En los "Principios" de Euclides apareció la prueba axiomática más antigua del teorema de Pitágoras.

La formulación principal contiene acciones algebraicas: en un triángulo rectángulo, cuyas patas son < displaystyle a> y b < displaystyle b>, y la longitud de la hipotenusa es c < displaystyle c>, la siguiente relación es válida:

También es posible una formulación geométrica equivalente, recurriendo al concepto del área de una figura: en un triángulo rectángulo, el área de un cuadrado construido en la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los cuadrados construidos en las patas. De esta forma, el teorema se formula en los Principios de Euclides.

Se registran al menos 400 pruebas del teorema de Pitágoras en la literatura científica, que se explica tanto por el valor fundamental de la geometría como por la naturaleza elemental del resultado. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия

  • [⇨] ), метод площадей
  • [⇨] , существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

    Доказательство Евклида Править

    La prueba clásica de Euclides tiene como objetivo establecer la igualdad de las áreas entre los rectángulos formados a partir de la disección de un cuadrado sobre la hipotenusa desde una altura desde un ángulo recto con cuadrados sobre las patas.

    Por lo tanto, la prueba establece que el área del cuadrado sobre la hipotenusa compuesta por los rectángulos A H J K < displaystyle AHJK> y B H J I < displaystyle BHJI> es igual a la suma de los cuadrados sobre las patas.

    A través de cuadrados de triángulos similares

    La siguiente evidencia se basa en el hecho de que las áreas de tales triángulos se denominan cuadrados de los lados respectivos.

    área D B A área A B C = A B 2 B C 2. < displaystyle < frac << text<площадь>>

    Del mismo modo, obtenemos

    área D A C área A B C = A C 2 B C 2. < displaystyle < frac << text<площадь>>

    Formas geométricas similares en tres lados.

    Euclides dio una generalización geométrica importante del teorema de Pitágoras en sus comienzos, pasando de los cuadrados de los lados a los cuadrados de figuras geométricas arbitrarias similares: la suma de los cuadrados de tales figuras construidas en catheti será igual al área de una figura similar construida sobre una hipotenusa.

    La idea principal de esta generalización es que el área de dicha figura geométrica es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus tamaños lineales y, en particular, al cuadrado de la longitud de cada lado. Por lo tanto, para tales figuras con áreas A < displaystyle A>, B < displaystyle B> y C < displaystyle C>, construidas sobre patas con longitudes a < displaystyle a> y b < displaystyle b> e hipotenusa c < displaystyle c> en consecuencia, la relación es:

    Teorema del área de Pappe Editar

    El teorema del área de Pappe, que permite un triángulo arbitrario y paralelogramos arbitrarios en sus dos lados para construir un paralelogramo en el tercer lado de modo que su área sea igual a la suma de las áreas de dos paralelogramos dados, también puede considerarse como una generalización del teorema de Pitágoras: en el caso donde el triángulo original Es rectangular, y los cuadrados se dan como paralelogramos en las piernas, el cuadrado construido en la hipotenusa resulta satisfacer las condiciones del teorema del área de Papp.

    Generalizaciones multidimensionales Editar

    Una generalización del teorema de Pitágoras para el espacio euclidiano tridimensional es el teorema de Gua: si el tetraedro tiene un ángulo recto, entonces el cuadrado del área de la cara opuesta al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. Esta conclusión también puede generalizarse como el "teorema de Pitágoras n-dimensional" para espacios euclidianos de dimensiones superiores, para las caras de un simplex ortogonal n < displaystyle n> -dimensional con áreas S 1, ..., S n < displaystyle S_ <1>, puntos, S_> las caras ortogonales y la cara opuesta con un área de S 0 < displaystyle S_ <0>> se cumple la relación:

    Otra generalización multidimensional surge del problema de encontrar la longitud al cuadrado de la diagonal de un paralelepípedo rectangular: para calcularlo, el teorema de Pitágoras debe aplicarse dos veces, como resultado, será la suma de las longitudes al cuadrado de tres lados adyacentes del paralelepípedo. En el caso general, la longitud diagonal de una caja rectangular n < displaystyle n> -dimensional con lados adyacentes con longitudes a 1, ..., a n < displaystyle a_ <1>, dots, a_> es:

    Como en el caso tridimensional, el resultado es una consecuencia de la aplicación consistente del teorema de Pitágoras a triángulos rectángulos en planos perpendiculares.

    Una generalización del teorema de Pitágoras para el espacio de dimensión infinita es la igualdad de Parseval.

    Geometría no euclidiana Editar

    El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana y no es válido para la geometría no euclidiana: el cumplimiento del teorema de Pitágoras es equivalente al postulado de paralelismo euclidiano.

    En la geometría no euclidiana, la relación entre los lados de un triángulo rectángulo tendrá necesariamente una forma diferente del teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en geometría esférica, los tres lados de un triángulo rectángulo que limitan el octante de la esfera unitaria son π / 2 < displaystyle pi / 2>, lo que contradice el teorema de Pitágoras.

    Además, el teorema de Pitágoras es válido en geometría hiperbólica y elíptica, si el requisito de la rectangularidad del triángulo se reemplaza por la condición de que la suma de los dos ángulos del triángulo debe ser igual a la tercera.